Question

13．一半径为4m的水轮（如图），水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P₀）开始计时．
（1）将点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）在水轮转动的一圈内，有多长时间点P距水面的高度超过4m．

Answer 1

分析 （1）以0为原点，建立平面直角坐标系．利用三角函数的定义即可表示点P距离水面的高度h（m）表示为时间t（s）的函数
（2）根据（1）中的三角函数关系式，利用三角函数公式化简即可得答案．

解答 解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系．
依题意，如图$|φ|=\frac{π}{6}$
易知OP，在ts内所转过的角为$\frac{4×2π}{60}t=\frac{2π}{15}t$，
故角$\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}$是以Ox为始边，OP为终边的角，
故P点的纵坐标为$4sin（{\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}}）$，
故所求函数关系式为$h=4sin（{\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}}）+2（t≥0）$．
（2）由点P距水面的高度超过4m．
即h＞4，
可得：$4sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）+2＞4$
∴$sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）＞\frac{1}{2}$．
解得：$\frac{π}{6}+2kπ＜\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}+2kπ，k∈Z$，
∴2.5+15k＜t＜7.5+15k，k∈Z
（7.5+15k）-（2.5+15k）=5．
∴在水轮转动的一圈内，有5s的时间点P距水面的高度超过4m．

点评 本题考查了三角函数的定义的运用和解析式的求法．要合理建立坐标系是解题的关键．属于中档题．