Question

6．已知函数f（x）=（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$ax²（a∈R），这里e是自然对数的底数．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）试讨论f（x）在区间（a-1，+∞）上是否存在极小值点？若存在，请求出极小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（2）通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，求出函数的极小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=x（e^x-a），
①a≤0时，e^x-a＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增；
②a＞1时，令e^x=a，解得：x=lna，则lna＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞lna或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜lna，
故f（x）在（-∞，0）递增，在（0，lna）递减，在（lna，+∞）递增；
③a=1时，f′（x）≥0，f（x）在R递增；
④0＜a＜1时，lna＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜lna，
令f′（x）＜0，解得：lna＜x＜0，
故f（x）在（-∞，lna）递增，在（lna，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）由（1）a≤0时，a-1≤-1，f（x）_极小值=f（0）=-1；
a＞1时，a-1＞0，f（x）在（a-1，lna）递减，在（lna，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（lna）=alna-a-$\frac{1}{2}$aln²a；
a=1时，f（x）在（a-1，+∞）递增，无极小值点；
0＜a＜1时，-1＜a-1＜0，
f（x）在（a-1，0）递减，在（0，+∞）递增，
故f（x）_极小值=f（0）=-1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．