Question

16．设函数f（x）=x•lnx+ax，a∈R．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对?x＞1，f（x）＞（b+a-1）x-b恒成立，求整数b的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=1时，f（x）=x•lnx+x（x＞0）．f（1）=1．f′（x）=lnx+2，f′（1）=2．利用点斜式即可得出．
（2）对?x＞1，f（x）＞（b+a-1）x-b恒成立，?b＜$（\frac{xlnx+x}{x-1}）_{min}$．令g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，则g′（x）=$\frac{（lnx+2）（x-1）-（xlnx+x）}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$．令h（x）=x-lnx-2，x＞1．L利用导数可知：函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．h（x）＞h（1）=-1，因此函数h（x）存在唯一零点x₀∈（3，4），x₀-lnx₀-2=0．可得x=x₀时，函数g（x）取得极小值即最小值，代入可得b＜x₀．即可得出．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x•lnx+x（x＞0）．f（1）=1．
f′（x）=lnx+2，f′（1）=2．
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-1=2（x-1），
化为：2x-y-1=0．
（2）对?x＞1，f（x）＞（b+a-1）x-b恒成立，?b＜$（\frac{xlnx+x}{x-1}）_{min}$．
令g（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，则g′（x）=$\frac{（lnx+2）（x-1）-（xlnx+x）}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$．
令h（x）=x-lnx-2，x＞1．
h′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，可知：函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴h（x）＞h（1）=-1，
因此函数h（x）存在唯一零点x₀∈（3，4），x₀-lnx₀-2=0．
使得g（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
∴x=x₀时，函数g（x）取得极小值即最小值，
∴b＜$\frac{{x}_{0}ln{x}_{0}+{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{x}_{0}（{x}_{0}-2）+{x}_{0}}{{x}_{0}-1}$=x₀．
因此整数b的最大值为3．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法、等价转化方法、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．