Question

1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；
（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，
∴a²+b²-c²=ab，
由余弦定理得，cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$；
又∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由c=2，C=$\frac{π}{3}$，根据正弦定理得，
$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴a+b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinB）
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]
=2$\sqrt{3}$sinA+2cosA
=4sin（A+$\frac{π}{6}$）；
又∵△ABC为锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$；
∴$\frac{π}{3}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴2$\sqrt{3}$＜4sin（A+$\frac{π}{6}$）≤4，
综上，a+b的取值范围是（2$\sqrt{3}$，4]．

点评 本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．