Question

（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD .

（1）求证：DE是圆O的切线；

（2）如果AD =AB = 2，求EB的长.

 

 

Answer 1

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）若要证明是圆的切线，又已知点在圆周上，所以只须证明垂直于半径即可.连接、，因为是直径，所以，又，所以，则是弦的中垂线，可知，，

所以，

所以，从而可证明是圆的切线.

（2）可以考虑先证明，再利用相似三角形的对应边成比例来求出长.因为，且，可得，所以，

所以，又，所以，因此，所以.

试题解析：（1）证：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC 由BC∥OD ⇒OD⊥AC

则OD是AC的中垂线⇒ ∠OCA =∠OAC , ∠DCA =∠DAC ,

∠OCD = ∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO = 90o .

⇒OC⊥DE, 所以DE是圆O的切线 . 5分

（2）BC∥OD⇒∠CBA = ∠DOA，∠BCA = ∠DAO

⇒△ABC∽△AOD⇒ ⇒ BC ===

⇒ ⇒⇒⇒ BE = 10分

考点：1.圆切线的证明；2.相似三角形相的应用.