Question

已知函数f（x）=

2-x-1(x≤0) f(x-1)(x＞0)

，若f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，0]
• B、（-∞，0）
• C、[0，1）
• D、[0，+∞）

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由题知f（x）为分段函数，当x大于0时，由f（x）=f（x-1）可知当x大于1时，f（x）=0，小于1大于0时函数为减函数；当x小于等于0时函数为减函数，而方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根即f（x）与y=x+a由两个交点，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实数a的取值范围．

解答： 解：解：函数f（x）=

2-x-1，(x≤0) f(x-1)，(x＞0)

的图象如图所示，
当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，
即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根．
∴a的范围是：（-∞，1），
故选：B．

点评：考查学生综合运用函数和方程的能力，以及让学生掌握数形结合的数学思想．