Question

已知点F（1，0），直线l：x=-1交x轴于点H，点M是l上的动点，过点M垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若A、B为轨迹C上的两个动点，且

OA

•

OB

=-4，证明：直线AB必过一定点，并求出该点．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得，点P到点F（1，0）的距离等于点P到直线l：x=-1的距离，由抛物线的定义可得点P的轨迹是抛物线，从而求得方程；
（2）设直线AB：y=kx+b，将直线AB代入到y²=4x中得k²x²+（2kb-4）x+b²=0，利用韦达定理，结合向量的数量积的坐标公式，即可得到k，b的关系式，即可证明直线AB恒过定点．

解答： （1）解：连接PF，由于过点M垂直于l的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，
则有|PF|=|PM|，即点P到点F（1，0）的距离等于点P到直线l：x=-1的距离，
由抛物线的定义可得，点P的轨迹C是：以F为焦点，以直线l：x=-1为准线的抛物线，
其方程为：y²=4x；
（2）证明：设直线AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线AB代入到y²=4x中得，k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
所以x₁+x₂=

4-2kb

k2

，x₁x₂=

b2

k2

，
又

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=（1+k²）•

b2

k2

+kb•

4-2kb

k2

+b²=-4，
解得，b=-2k，
则有直线AB：y=kx-2k，即有y=k（x-2）．
故直线AB必过一定点，且为（2，0）．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查转化思想与计算能力，熟记抛物线的定义是求解本题的关键．