Question

已知f（x）=

sinθ

3

x3+

3

2

cosθ•x2，θ∈[0，

5π

12

]，则f′（1）取值范围为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：由导数的运算和三角函数公式易得f′（1）=2sin（θ+

π

3

），由θ的范围和三角函数的知识可得．

解答： 解：∵f（x）=

sinθ

3

x3+

3

2

cosθ•x2，
∴f′（x）=sinθ•x²+

3

cosθ•x
∴f′（1）=sinθ+

3

cosθ
=2（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）=2sin（θ+

π

3

），
∵θ∈[0，

5π

12

]，∴θ+

π

3

∈[

π

3

，

3π

4

]，
∴sin（θ+

π

3

）∈[

2

2

，1]，∴2sin（θ+

π

3

）∈[

2

，2]，
∴f′（1）取值范围为：[

2

，2]
故答案为：[

2

，2]

点评：本题考查导数的运算，涉及三角函数的值域，属基础题．