Question

如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E-BC-A正切值的大小．

Answer 1

分析：根据题意，以BC为直径的球与线段PD有交点，因此设BC的中点为O（即球心），取AD的中点M，连接OM，作ME⊥PD于点E，连接OE．要使以BC为直径的球与PD有交点，只要OE≤OC即可，设OC=OB=R，算出ME=

4R

16+4R2

，从而得到OE²=9+

4R2

4+R2

≤R²，解此不等式得R≥2

3

，所以AD的取值范围[4

3

，+∞）．最后根据AD=4

3

时，点E在线段PD上惟一存在，结合二面角平面角的定义和题中数据，易得此时二面角E-BC-A正切值．

解答：解：若以BC为直径的球面与线段PD有交点E，由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆，则必有BE⊥CE，因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点．
设BC的中点为O（即球心），再取AD的中点M，
∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∵矩形ABCD中，O、M是对边中点的连线
∴OM∥AB，可得OM⊥平面PAD，
作ME⊥PD交PD于点E，连接OE，
则OE⊥PD，所以OE即为点O到直线PD的距离，
又∵OD＞OC，OP＞OA＞OB，点P，D在球O外，
∴要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OE≤OC（设OC=OB=R）即可．
由于△DEM∽△DAP，可求得ME=

4R

16+4R2

，
∴OE²=9+ME²=9+

4R2

4+R2

 令OE²≤R²，即9+

4R2

4+R2

≤R²，解之得R≥2

3

；
∴AD=2R≥4

3

，得AD的取值范围[4

3

，+∞），
当且仅当AD=4

3

时，点E在线段PD上惟一存在，
此时作EH∥PA交AD于H，再作HK⊥BC于K，连接EK，
可得BC⊥平面EHK，∠EKH即为二面角E-BC-A的平面角
∵以BC为直径的球半径R=2

3

=OE，∴ME=

4R

16+4R2

=

3

，
由此可得ED=

EM×AD

PA

=3，所以EH=

PA×DE

PD

=

4×3

42+(4 3 )2

=

3

2

∵PA⊥平面ABCD，EH∥PA，∴EH⊥平面ABCD，得EH⊥HK
∵Rt△EHK中，HK=AB=3，∴tan∠EKH=

EH

HK

=

1

2

即二面角E-BC-A的平面角正切值为

1

2

．

点评：本题给出特殊四棱锥，探索空间两条直线相互垂直的问题，并求二面角的正切值，着重考查了空间垂直位置关系的证明和二面角平面角的作法，以及求二面角大小等知识点，属于中档题．