Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sinA=4cosBsinC+bsin2C，且C≠ ．
（1）求c；
（2）若C= ，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：4sinA=4cosBsinC+bsin2C，

4sin（B+C）=4cosBsinC+2bsinCcosC，

4sinBcosC+4cosBsinC=4cosBsinC+2bsinCcosC，

4sinBcosC=2bsinCcosC，

4sinB=2bsinC，（C≠ ，cosB≠0）

4b=2bc，（ ）

c=2

（2）解：∵C= ， ，

∴△ABC周长l=a+b+c=2+ sinA+ sinB

=2+ sinA+ sin（ ﹣A）

=2+ sin（A+ ），

∵0 ， ＜A+ ＜ ，

∴sin（A+ ）∈（ ，1]，

∴△ABC周长l=2+ sin（A+ ）∈（4，2+ ]

【解析】（1）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，化简已知等式可得4sinB=2bsinC，利用正弦定理可求4b=2bc，从而解得c的值．（2）由正弦定理 ，可得△ABC周长l=2+ sinA+ sinB=2+ sin（A+ ），利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．