Question

10．如图，在四边形ABCD中，|${\overrightarrow{AC}}$|=4，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=12，E为AC的中点．
（1）若cos∠ABC=$\frac{12}{13}$，求△ABC的面积S_△ABC；
（2）若$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{ED}$，求$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$的值．

Answer 1

分析 （1）容易求出sin∠ABC=$\frac{5}{13}$，并且可求出$|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|$的值，根据三角形面积公式即可求出△ABC的面积；
（2）可以E为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，并可得到A（-2，0），C（2，0），并设D（x，y），根据条件可求得E点坐标，从而求出$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{BC}$的坐标，进行数量积的坐标运算即可求得x²+y²=4，这样便可求出$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}$的值．

解答 解：（1）∵$cos∠ABC=\frac{12}{13}$，∠ABC∈（0，π）；
∴$sin∠ABC=\sqrt{1-{{（{\frac{12}{13}}）}^2}}=\frac{5}{13}$；
∵$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|cos∠ABC$=$|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|•\frac{12}{13}=12$；
∴$|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|=13$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|sin∠ABC$=$\frac{1}{2}×13×\frac{5}{13}=\frac{5}{2}$；
（2）以E为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系：

则A（-2，0），C（2，0），设D（x，y）；
由$\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{ED}$，可得B（-2x，-2y）；
则$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=12=（2x-2，2y）•（2x+2，2y）=4{x^2}-4+4{y^2}$=12；
∴x²+y²=4；
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}=（{-2-x，-y}）•（{2-x，-y}）={x^2}+{y^2}-4=0$．

点评 考查sin²α+cos²α=1，数量积的计算公式，三角形的面积公式，通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，以及向量数量积的坐标运算．