Question

函数f（x）=-

1

b

e^ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x²+y²=1相切，则ab的最大值是（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、1
• D、

  2

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,不等式的解法及应用,直线与圆

分析：求导数，求出切线方程，利用切线与圆x²+y²=1相切，可得a²+b²=1，利用基本不等式，可求ab的最大值．

解答：解：求导数，可得f′(x)=-

a

b

eax
令x=0，则f′(0)=-

a

b

又f（0）=-

1

b

，则切线方程为y+

1

b

=-

a

b

x，即ax+by+1=0
∵切线与圆x²+y²=1相切，
∴

1

a2+b2

=1，
∴a²+b²=1
∵a＞0，b＞0
∴a²+b²≥2ab，
∴ab≤

1

2

，∴ab的最大值是

1

2

，此时a=b=

2

2

．
故选：B．

点评：本题考查导数的几何意义，考查直线与圆相切，考查基本不等式的运用，属于中档题．