Question

过x轴上点P（a，0）的直线与抛物线y²=8x交于A，B两点，若

1

|AP2|

+

1

|BP2|

为定值，则a的值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线AB的方程为：x=my+a，与y²=8x联立得y²-8my-8a=0，利用韦达定理可求得

1

|AP2|

+

1

|BP2|

=

4m2+a

4a2(m2+1)

，由它为定值可求得a的值．

解答：解：设直线AB的方程为：x=my+a，
代入y²=8x得y²-8my-8a=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8m，y₁•y₂=-8a，
AP²=(x1-a)2+y12=(my1)2+y12=（m²+1）y12，
同理，BP²=（m²+1）y22，
∴

1

|AP2|

+

1

|BP2|

=

1

m2+1

（

1

y12

+

1

y22

）
=

1

m2+1

•

(y1+y2)2-2y1y2

y12y22

=

1

m2+1

•

64m2-2×(-8a)

64a2

=

4m2+a

4a2(m2+1)

，
∵

1

|AP2|

+

1

|BP2|

为定值，是与m无关的常数，
∴a=4．
故选：D．

点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查韦达定理的应用，着重考查运算求解能力，属于中档题．