【题目】已知四棱锥
中，侧面
底面
，
，
是边长为2的正三角形底面是菱形，点
为
的中点
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
(1) 连结AC，交BD于O，利用中位线定理证明
，结合线面平行的判定定理证明即可；
(2)建立空间直角坐标系，利用坐标求出平面PAB和平面PBC的法向量，即可求解.
（1）
连结AC，交BD于O，连接MO，由于底面ABCD为菱形，
O为AC中点
又M为
的中点，，又
面
，
面
平面
（2）过
作
，垂足为
，由于
为正三角形，为
的中点．由于侧面
面
，由面面垂直的性质得
面，
由
，得
∴
以E为坐标原点，EP为
轴，EA为
轴，EB为y轴，建立空间直角坐标系．
则
，
设平面PAB的法向量为
，平面PBC的法向量为
由
及
得
，取
，得平面PAB的一个法向量为
同理可求得平面PBC的一个法向量
，由法向量的方向得知
所求二面角的余弦值为
.
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【题目】在直角坐标系
中，长为3的线段的两端点
分别在
轴、
轴上滑动，点
为线段
上的点，且满足
.记点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）若点
为曲线上的两个动点，记
，判断是否存在常数
使得点
到直线
的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在，请说明理由.
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【题目】已知椭圆
中心在坐标原点，焦点在
轴上，且过点
，直线
与椭圆交于
两点（两点不是左右顶点），若直线的斜率为
时，弦
的中点
在直线
上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若在椭圆上有相异的两点（
三点不共线），
为坐标原点，且直线，直线
，直线
的斜率满足
，求证：
是定值.
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【题目】给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“
，使得
”的否定是“
，均有
”；
②若正整数
和
满足
，则
；
③在
中 ，
是
的充要条件；
④一条光线经过点
，射在直线
上，反射后穿过点
，则入射光线所在直线的方程为
；
⑤已知
的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则
为定值.
A.2B.3C.4D.5
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【题目】如图，一幅壁画的最高点
处离地面
米，最低点
处离地面
米.正对壁画的是一条坡度为
的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角
的正切值），若从离斜坡地面
米的
处观赏它.
（1）若对墙的投影（即过作
的垂线垂足为投影）恰在线段（包括端点）上，求点离墙的水平距离的范围；
（2）在（1）的条件下，当点离墙的水平距离为多少时，视角
（
）最大？
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【题目】要制作一个如图的框架（单位：米）.要求所围成的总面积为19.5（
），其中
是一个矩形， 
是一个等腰梯形，梯形高
， 
，设
米， 
米.
（1）求
关于
的表达式；
（2）如何设计，的长度，才能使所用材料最少？
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【题目】已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE
BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示。
（Ⅰ）求证：AE平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．
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