Question

【题目】如图，一幅壁画的最高点处离地面米，最低点处离地面米.正对壁画的是一条坡度为的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角的正切值），若从离斜坡地面米的处观赏它.

（1）若对墙的投影（即过作的垂线垂足为投影）恰在线段（包括端点）上，求点离墙的水平距离的范围；

（2）在（1）的条件下，当点离墙的水平距离为多少时，视角（）最大？

Answer 1

【答案】（1）点离墙的水平距离的范围为：；（2）当点离墙的水平距离为1m时，视角（）最大.

【解析】

（1）如图所示：设，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；

（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可.

（1）如图所示：设，显然有，因此有

，由,可得：，化简得：，因为，所以，即点离墙的水平距离的范围为：

；

（2）

,

因为，所以有，代入上式化简得：

，

因为，所以有（当且仅当时取等号，即时，取等号），因此有，因此当点离墙的水平距离为1m时，视角（）最大.