Question

【题目】在直角坐标系中，长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动，点为线段上的点，且满足.记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若点为曲线上的两个动点，记，判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值？若存在，求出常数的值和这个定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；常数，定值

【解析】

（1）设出的坐标，利用以及，求得曲线的方程.

（2）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，求得到直线的距离.联立直线的方程和曲线的方程，写出根与系数关系，结合以及为定值，求得的值.当直线的斜率不存在时，验证.由此得到存在常数，且定值.

（1）解析：（1）设，，

由题可得

，解得

又，即，

消去得：

（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为

设，

由可得：

由点到的距离为定值可得（为常数）即

得：

即

，

又

为定值时，，此时，且符合

当直线的斜率不存在时，设直线方程为

由题可得，时，，经检验，符合条件

综上可知，存在常数，且定值