【题目】已知函数,
(
为自然对数的底数).
(1)讨论函数在定义域内极值点的个数;
(2)设直线为函数
的图象上一点
处的切线,证明:在区间
上存在唯一的
,使得直线
与曲线
相切.
【答案】(1)当时,函数
无极值点,当
时,函数
有两个极值点(2)证明见解析
【解析】
(1)对函数求导得
,令
,分类讨论
有无零点以及零点与
、
的相对位置即可得解;
(2)由题意可得切线的方程可表示为
,设直线
与曲线
相切于点
,由题意可得
,进而可得
,由(1)中结论即可证明
在
上存在唯一的根,即可得证.
(1)由题意且
,
则,
令,
,
①当即
时,
,
此时,在
和
单调递增,
无极值点;
②当时,即当
或
时,
函数有两个零点,
,
,
(i)当时,
因为,
所以,
所以函数在
单调递增,在
和
上单调递减,在
上单调递增,此时函数
有两个极值点;
(ii)当时,因为
,
所以,此时
,
在
和
单调递增,无极值点.
综上所述,当时,函数
无极值点,当
时,函数
有两个极值点.
(2)证明:因为,所以切线
的方程可表示为
,
设直线与曲线
相切于点
,
因为,所以
,
消去并整理得
,
由(1)可知,当时,函数
在
单调递增,
又,
.
所以函数在
上有唯一的零点,
又因为在
单调递增,
所以方程在
上存在唯一的根,
故在区间上存在唯一的
,使得直线
与曲线
相切.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,直线将矩形纸
分为两个直角梯形
和
,将梯形
沿边
翻折,如图2,在翻折的过程中(平面
和平面
不重合),下面说法正确的是
图1 图2
A.存在某一位置,使得平面
B.存在某一位置,使得平面
C.在翻折的过程中,平面
恒成立
D.在翻折的过程中,平面
恒成立
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某大型公司为了切实保障员工的健康安全,贯彻好卫生防疫工作的相关要求,决定在全公司范围内举行一次普查,为此需要抽验1000人的血样进行化验,由于人数较多,检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①:将每个人的血分别化验,这时需要验1000次.方案②:按
个人一组进行随机分组,把从每组
个人抽来的血混合在一起进行检验,如果每个人的血均为阴性,则验出的结果呈阴性,这
个人的血只需检验一次(这时认为每个人的血化验
次);否则,若呈阳性,则需对这
个人的血样再分别进行一次化验,这样,该组
个人的血总共需要化验
次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为
,且这些人之间的试验反应相互独立.
(1)设方案②中,某组个人的每个人的血化验次数为
,求
的分布列;
(2)设,试比较方案②中,分别取2,3,4时,各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下,相比方案①,化验次数最多可以平均减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】椭圆,右焦点为
,
是斜率为
的弦,
的中点为
,
的垂直平分线交椭圆于
,
两点,
的中点为
.当
时,直线
的斜率为
(
为坐标原点).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设原点到直线
的距离为
,求
的取值范围;
(3)若直线,直线
的斜率满足
,判断并证明
是否为定值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率直方图中a的值;
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人,求这2人的成绩都在[60,70)中的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下图是民航部门统计的某年春运期间,六个城市售出的往返机票的平均价格(单位元),以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图,以下叙述不正确的是( )
A.深圳的变化幅度最小,北京的平均价格最高
B.天津的往返机票平均价格变化最大
C.上海和广州的往返机票平均价格基本相当
D.相比于上一年同期,其中四个城市的往返机票平均价格在增加
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,长为3的线段的两端点
分别在
轴、
轴上滑动,点
为线段
上的点,且满足
.记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点为曲线
上的两个动点,记
,判断是否存在常数
使得点
到直线
的距离为定值?若存在,求出常数
的值和这个定值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表:
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:
(1)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品”的规定?
(2)在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足
,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列五个命题,其中正确命题的个数为( )
①命题“,使得
”的否定是“
,均有
”;
②若正整数和
满足
,则
;
③在中 ,
是
的充要条件;
④一条光线经过点,射在直线
上,反射后穿过点
,则入射光线所在直线的方程为
;
⑤已知的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率,则
为定值.
A.2B.3C.4D.5
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com