Question

12．过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点F₂的直线与椭圆C相交于A，B两点．若$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，则点A与左焦点F₁的距离|AF₁|=$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，c，右焦点坐标，由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，可得F₂为AB的中点，即有AB⊥x轴，令x=1，可得|AF₂|，再由椭圆的定义，即可得到所求值．

解答 解：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
右焦点F₂为（1，0），
由$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，可得F₂为AB的中点，
即有AB⊥x轴，令x=1，可得y=±$\sqrt{3}$•$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=±$\frac{3}{2}$，
由椭圆的定义可得，|AF₁|+|AF₂|=2a=4，
可得|AF₁|=4-|AF₂|=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．