Question

3．已知△ABC中，A（1，1），C（4，2），点B在函数$y=\sqrt{x}（1＜x＜4）$的图象上运动，问点B在何处时，△ABC的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

分析 设B点横坐标为m时，△ABC的面积最大，由题意可知，AB的长不变，所以当点C到直线AB距离最大时，△ABC的面积S最大．结合点到直线距离公式求出m的值，进而可得面积的最大值．

解答 解：设B点横坐标为m时，△ABC的面积最大，
∵AB边长一定，
∴当点C到直线AB距离最大时，△ABC的面积S最大．
∵A（1，1），B（4，2），
∴直线AB方程为x-3y+2=0．
点C（m，$\sqrt{m}$）到直线AB距离d=$\frac{|m-3\sqrt{m}+2|}{\sqrt{10}}$．
∵1＜m＜4，
∴$\sqrt{m}$=$\frac{3}{2}$，
即m=$\frac{9}{4}$时，d取最大$\frac{\sqrt{10}}{40}$，
由|AB|=$\sqrt{10}$，
故此时△ABC的面积S取最大值$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．