Question

18．在平面直角坐标系xOy中，设A，B，P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1上的三个动点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．动点Q在线段AB上，且$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AB}$=0，则|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范围为[1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．

Answer 1

分析 设直线AB：y=kx+m，由$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AB}$=0，可得OQ⊥AB，即有OQ：y=-$\frac{1}{k}$x，将AB的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和向量垂直的条件，运用代入法，化简整理，即可得到所求Q的轨迹为圆，再由圆和椭圆的对称性，可得最值，即为范围．

解答 解：设直线AB：y=kx+m，
由$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{AB}$=0，可得OQ⊥AB，
即有OQ：y=-$\frac{1}{k}$x，
求得k=-$\frac{x}{y}$，m=y+$\frac{{x}^{2}}{y}$，①
将直线y=kx+m代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，可得
（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
代入韦达定理，可得3+3k²=4m²，
再由①，化简可得x²+y²=$\frac{3}{4}$，
即有Q的轨迹为以O为圆心，$\frac{\sqrt{3}}{2}$为半径的圆，
由圆和椭圆的对称性，可得|PQ|的最大值为r+a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
最小值为b-r=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
则|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范围是[1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．
故答案为：[1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查向量的模的范围，考查向量垂直的条件和直线和椭圆联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．