Question

6．设函数f（x）=ax²-2x+lnx+c（a＞0）在[2，4]上无极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，问题转化为二次函数g（x）=2ax²-2x+1在[2，4]上的取值问题根据二次函数的性质判断即可．

解答 解：f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2ax-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
令g（x）=2ax²-2x+1，（x＞0），
若函数f（x）（a＞0）在[2，4]上无极值点，
则g（x）≥0（或g（x）≤0）在[2，4]恒成立，
 若g（x）≥0在[2，4]恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤2}\\{g（2）=8a-3≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≥4}\\{g（4）=32a-7≥0}\end{array}\right.$，
解得：a≥$\frac{3}{8}$，
若g（x）≤0在[2，4]恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{2＜\frac{1}{2a}＜4}\\{g（2）=8a-3≤0}\\{g（4）=32a-7≤0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{8}$＜a＜$\frac{7}{32}$，
综上：a≥$\frac{3}{8}$或$\frac{1}{8}$＜a＜$\frac{7}{32}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，二次函数的性质，是一道中档题．