Question

16．设p：实数x满足x²-x-2≤0，q：实数x满足$\frac{x-3}{x}＜0$，r：实数x满足[x-（a+1）][x+（2a-1）]≤0，其中a＞0．
（1）如果p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）如果p是r的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用分式不等式与一元二次不等式的解法化简命题p，q，可得解集A，B，由于p∧q为真，求出A∩B即可．
（2）利用一元二次不等式的解法可得：解集C=[-2a+1，a+1]．由于p是r的充分不必要条件，可得应有A?C，即可得出．

解答 解：（1）p：实数x满足x²-x-2≤0，解得-1≤x≤2．可得解集A=[-1，2]，
q：实数x满足$\frac{x-3}{x}＜0$，化为x（x-3）＜0，解得0＜x＜3，可得解集B=（0，3）．
∴A∩B=（0，2]．
∵p∧q为真，∴实数x的取值范围是（0，2]．
（2）由r：实数x满足[x-（a+1）][x+（2a-1）]≤0，其中a＞0，可得解集C=[-2a+1，a+1]．
∵p是r的充分不必要条件，∴应有A?C，
可得$\left\{{\begin{array}{l}{-2a+1≤-1}\\{a+1＞2}\end{array}}\right.$，或$\left\{{\begin{array}{l}{-2a+1＜-1}\\{a+1≥2}\end{array}}\right.$，
解得a＞1，故实数a的取值范围是{a|a＞1}．

点评 本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质、简易逻辑的判定方法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．