Question

8．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱．1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{16}{x+2}-x+8，0≤x≤2}\\{4-x，2＜x≤4}\end{array}\right.$．只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用．
（1）判断函数的单调性（不必证明）；
（2）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？
（3）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值．

Answer 1

分析 （1）结合对勾函数和一次函数的图象和性质，可得结论；
（2）分类讨论满足y≥1的x范围，综合讨论结果，可得答案；
（3）根据已知求出函数的解析式，分析其单调性后，可得函数的最值．

解答 解：（1）函数在[0，2]上单调递增，在（2，4]上单调递减；…（2分）
（2）解$\left\{\begin{array}{l}-\frac{16}{x+2}-x+8≥1\\ 0≤x≤2\end{array}\right.$得：$\frac{5-\sqrt{17}}{2}≤x≤2$--------（4分）
解$\left\{\begin{array}{l}4-x≥1\\ 2＜x≤4\end{array}\right.$得：2＜x≤3…（5分）
综上可得$\frac{5-\sqrt{17}}{2}≤x≤3$…（6分）
即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为$3-\frac{5-\sqrt{17}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$…（7分）
（3）由（1）知，当0≤x≤2时，y=$-\frac{16}{x+2}-x+8$单调递增
当2＜x≤4时，y=4-x单调递减
所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，
即2＜x≤4时，
y=4-x+$[-\frac{16}{（x-2）+2}-（x-2）+8]$=14-（2x+$\frac{16}{x}$）…（10分）
记$f（x）=2x+\frac{16}{x}$，
下面用单调函数的定义证明f（x）在$（2，2\sqrt{2}）$上单调递减，$（2\sqrt{2}，4）$上单调递增．
对任意x₁，x₂满足，$2＜{x_1}＜{x_2}＜2\sqrt{2}$，
$\begin{array}{l}f（{x_1}）-f（{x_1}）=（2{x_1}+\frac{16}{x_1}）-（2{x_2}+\frac{16}{x_2}）\\=（{x_1}-{x_2}）\frac{{2{x_1}{x_2}-16}}{{{x_1}{x_2}}}＞0\end{array}$
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以，f（x）在$（2，2\sqrt{2}）$上单调递减，同理可证，f（x）在$（2\sqrt{2}，4）$上单调递增．
故当且仅当$2x=\frac{16}{x}$，即x=2$\sqrt{2}$时，
$f{（x）_{min}}=f（2\sqrt{2}）=8\sqrt{2}$，
所以y有最大值14-8$\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，基本不等式，难度中档．