Question

14．设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （1）对曲线C的极坐标方程两边同乘ρ即可得到普通方程；
（2）求出直线l的普通方程，计算圆心到直线l的距离，使用垂径定理求出AB的长．

解答 解：（1）∵曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-4x=0．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=2t}\end{array}\right.$（t为参数）得2x-y=2，∴直线l的普通方程为2x-y-2=0．
∴曲线C圆心（2，0）到直线l的距离d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴AB=2$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．