Question

9．已知O为坐标原点，B、D分别是单位圆与x轴正半轴、y正半轴的交点，点P为单位圆劣弧$\widehat{BD}$上一点，若$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OD}$=x$\overrightarrow{DB}$+y$\overrightarrow{OP}$，∠BOP=$\frac{π}{3}$，则x+y=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4-3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 可画出图形，根据$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{DB}+y\overrightarrow{OP}$便可得到$y\overrightarrow{OP}=（1-x）\overrightarrow{OB}+（1+x）\overrightarrow{OD}$，而由$∠BOP=\frac{π}{3}$及向量加法的平行四边形法则可以得到$y\overrightarrow{OP}=\frac{y}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{\sqrt{3}}{2}y\overrightarrow{OD}$，这样根据平面向量基本定理便可得到$\left\{\begin{array}{l}{1-x=\frac{y}{2}}\\{1+x=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$，解出x，y，从而得出x+y的值．

解答 解：如图，$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}$；
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=x（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}）+y\overrightarrow{OP}$；
∴$y\overrightarrow{OP}=（1-x）\overrightarrow{OB}+（1+x）\overrightarrow{OD}$①；
∵$∠BOP=\frac{π}{3}$；
∴$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{OD}$；
∴$y\overrightarrow{OP}=\frac{y}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{\sqrt{3}}{2}y\overrightarrow{OD}$②；
∴由①②得，$\left\{\begin{array}{l}{1-x=\frac{y}{2}}\\{1+x=\frac{\sqrt{3}}{2}y}\end{array}\right.$；
解得$x=2-\sqrt{3}，y=2\sqrt{3}-2$；
∴$x+y=\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，平面向量基本定理．