Question

19．在区间[0，1]上随机取两个实数a、b，则函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}+ax-b$在区间[0，1]上有且只有一个零点的概率是（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{7}{8}$

Answer 1

分析 由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=$\frac{1}{2}$x³+ax-b在区间[0，1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．

解答 解：由题意知本题是一个几何概型，
∵a∈[0，1]，
∴f'（x）=1.5x²+a≥0，
∴f（x）是增函数，
若在[0，1]有且仅有一个零点，则f（0）•f（1）≤0，
∴-b•（0.5+a-b）≤0，
即b（0.5+a-b）≥0，
∴b≤a+0.5，
由线性规划内容知全部事件的面积为1×1=1，满足条件的面积为1-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{7}{8}$，
∴概率P=$\frac{7}{8}$，
故选：D．

点评 本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．