Question

10．已知函数f（x）的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f（x）的保值区间，若f（x）=x+m-lnx的保值区间是（e，+∞），则m的值为1．

Answer 1

分析 利用导数求出函数f（x）的单调区间，结合f（x）=x+m-lnx的保值区间是（e，+∞），可得其定义域和值域均为（e，+∞），由此列式求得m值．

解答 解：∵f′（x）=1-$\frac{1}{x}$＞0，得x＞1，
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，同理可得f（x）在（0，1）上为减函数．
又∵f（x）=x+m-lnx的保值区间是[e，+∞），则定义域为[e，+∞），
∴函数f（x）在[e，+∞）上单调递增，
且f（x）_min=f（e）=e+m-1=e，
∴m=1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数的值域，训练了利用导数研究函数的单调性，关键是对题意的理解，是中档题．