Question

5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ-ρcosθ=$\frac{1}{2}$与曲线C交于P、Q两点．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C上当φ=$\frac{2}{3}π$时所对应的点为M，求△MPQ的面积．

Answer 1

分析 （I）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），利用cos²φ+sin²φ=1即可化为普通方程．直线l：ρsinθ-ρcosθ=$\frac{1}{2}$，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（II）当φ=$\frac{2}{3}π$时所对应的点为M$（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，利用点到直线的距离公式可得：点M到直线l的距离h．圆心（0，0）到直线l的距离d．可得：|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．因此△MPQ的面积S=$\frac{1}{2}$|PQ|•h．

解答 解：（I）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），化为x²+y²=1．
直线l：ρsinθ-ρcosθ=$\frac{1}{2}$，化为直角坐标方程：2y-2x=1．
（II）当φ=$\frac{2}{3}π$时所对应的点为M$（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴点M到直线l的距离h=$\frac{|\sqrt{3}+1-1|}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
圆心（0，0）到直线l的距离d=$\frac{1}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴△MPQ的面积S=$\frac{1}{2}$|PQ|•h=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{21}}{8}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．