Question

20．已知曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，边长为3的等边三角形，在极坐标系中其重心在极点．
（I）求该等边三角形外接圆C₂的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C₁、C₂交于A、B两点，求|AB|的长．

Answer 1

分析 （I）边长为3的等边三角形，其外接圆的半径R满足：2R=$\frac{3}{sin\frac{π}{3}}$，解得R．由于在极坐标系中其重心在极点，即可该等边三角形外接圆C₂的直角坐标方程为：x²+y²=R²，即可化为极坐标方程．
（II）曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），化为（x-2）²+（y-2）²=4，与x²+y²=R²联立可得相交弦所在的直线方程，求出圆心（0，0）到此直线的距离d，利用|AB|=2$\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．

解答 解：（I）边长为3的等边三角形，其外接圆的半径R满足：2R=$\frac{3}{sin\frac{π}{3}}$，解得R=$\sqrt{3}$．
∵在极坐标系中其重心在极点，∴该等边三角形外接圆C₂的直角坐标方程为：x²+y²=3，其极坐标方程为：ρ²=3．
（II）曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），化为（x-2）²+（y-2）²=4，
与x²+y²=3联立可得：4x+4y-7=0，
圆心（0，0）到此直线的距离d=$\frac{7}{\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{8}$．
∴|AB|=2$\sqrt{3-（\frac{7\sqrt{2}}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{94}}{4}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．