Question

15．在△ABC中，已知2∠C=∠A+∠B，c=2．
（1）求△ABC外接圆半径R；
（2）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由2∠C=∠A+∠B，∠C+∠A+∠B=π，可得∠C=$\frac{π}{3}$．再利用正弦定理可得：$\frac{c}{sinC}$=2R，解出即可得出．
（2）利用正弦定理、和差化积、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵2∠C=∠A+∠B，∠C+∠A+∠B=π，
∴∠C=$\frac{π}{3}$．
∴$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=2R，
解得R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=2R，
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB，
∴a+b+c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB+2
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin$（\frac{2π}{3}-A）$+2
=$4sin（A+\frac{π}{6}）$+2，
∵A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，则$（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
∴（a+b+c）∈（4，6]．

点评 本题考查了正弦定理、和差化积、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．