Question

3．已知∠A+∠B=120°．
（1）将函数y=sin²A+sin²B化为y=Asin（wx+φ）的形式；
（2）求函数y的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式．
（2）根据正弦函数的值域，结合函数y的解析式，求得y的值域．

解答 解：（1）∵∠A+∠B=120°，
∴函数y=sin²A+sin²B=sin²A+sin²（120°-A）=$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos（240°-2A）}{2}$
=1-$\frac{cos2A}{2}$-$\frac{cos（-120°-2A）}{2}$=1-$\frac{cos2A}{2}$-$\frac{cos（120°+2A）}{2}$
=1-$\frac{cos2A}{2}$-$\frac{-\frac{1}{2}cos2A-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2A}{2}$=1-$\frac{cos2A}{2}$+$\frac{1}{4}cos2A$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A
=1-$\frac{1}{4}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2A=1+$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）．
（2）根据sin（2A-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，y=1+$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$），
可得y的值域为[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的值域，属于中档题．