Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，以M（-a，b），N（a，b），F₂、F₁为顶点的等腰梯形的高为1，面积为2+$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=k（x-1）（k≠0）与x轴相交于点P，与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点Q，求$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=1，再由等腰梯形的面积公式可得$\frac{1}{2}$（2c+2a）b=2+$\sqrt{3}$，结合a，b，c的关系，解方程可得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得|PQ|，由弦长公式求得|AB|，作比后求得$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范围．

解答 解：（1）由题意可得b=1，
等腰梯形的面积为$\frac{1}{2}$（2c+2a）b=2+$\sqrt{3}$，
即为a+c=2+$\sqrt{3}$，
又a²-c²=1，
解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）直线y=k（x-1）（k≠0），
代入椭圆方程，得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$\frac{-2k}{1+4{k}^{2}}$．
∴线段AB的中点坐标为（$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$），
∴线段AB的垂直平分线方程为y-$\frac{-k}{1+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）．
取y=0，得x=$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q（$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，0），
又点P（1，0），
∴|PQ|=|1-$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$|=$\frac{1+{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
又|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{4\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+3{k}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$．
于是，$\frac{|AB|}{|PQ|}$=4$\sqrt{3-\frac{2}{1+{k}^{2}}}$．
∵k≠0，
∴1＜3-$\frac{2}{1+{k}^{2}}$＜3．
∴$\frac{|AB|}{|PQ|}$的取值范围为（4，4$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与椭圆联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法．