Question

16．已知直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ²cos2θ=1
（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；
（2）若求直线，被曲线c截得的弦长为2$\sqrt{10}$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式化简，利用极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程；
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得出交点对应参数的关系，使用根与系数得关系列方程解出m．

解答 解：（1）∵ρ²cos2θ=1，∴ρ²cos²θ-ρ²sin²θ=1，
∴曲线C的直角坐标方程为x²-y²=1．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=m+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入x²-y²=1得：
（m+$\frac{1}{2}t$）²-（$\frac{\sqrt{3}}{2}t$）²=1，即t²-2mt-2m²+2=0，
∴t₁+t₂=2m，t₁t₂=2-2m²．
∵直线l被曲线c截得的弦长为2$\sqrt{10}$，
∴|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{4{m}^{2}-4（2-2{m}^{2}）}$=2$\sqrt{10}$．
解得m=±2．

点评 本题考查了极坐标方程与普通方程的转化，极坐标方程的应用，属于基础题．