Question

6．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且经过点A（0，-1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如果过点$B（0，\frac{3}{5}）$的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合），求证：△AMN为直角三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点A（0，-1），求出b，由离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设MN的方程为$y=kx+\frac{3}{5}$，与椭圆联立，得$（1+4{k^2}）{x^2}+\frac{24}{5}kx-\frac{64}{25}=0$，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，结合已知条件能证明△AMN为直角三角形．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且经过点A（0，-1），
∴b=1．…（1分）
$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{{a^2}-1}}}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得a=2．…（3分）
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．                                   …（4分）
证明：（Ⅱ）若过点$（0，\frac{3}{5}）$的直线MN的斜率不存在，此时M，N两点中有一个点与A点重合，不满足题目条件．                                                         …（5分）
若过点$（0，\frac{3}{5}）$的直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则MN的方程为$y=kx+\frac{3}{5}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+\frac{3}{5}\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，得$（1+4{k^2}）{x^2}+\frac{24}{5}kx-\frac{64}{25}=0$．…（7分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{24k}{{5（1+4{k^2}）}}\\{x_1}•{x_2}=-\frac{64}{{25（1+4{k^2}）}}\\△＞0\end{array}\right.$，…（9分）
∴${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+\frac{6}{5}=\frac{6}{{5（1+4{k^2}）}}$，
${y_1}•{y_2}={k^2}{x_1}•{x_2}+\frac{3}{5}k（{x_1}+{x_2}）+\frac{9}{25}=\frac{{-100{k^2}+9}}{{25（1+4{k^2}）}}$．…（11分）
∵A（0，-1），
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（{x_1}，{y_1}+1）•（{x_2}，{y_2}+1）={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}+（{y_1}+{y_2}）+1$
=$-\frac{64}{{25（1+4{k^2}）}}+\frac{{-100{k^2}+9}}{{25（1+4{k^2}）}}$$+\frac{6}{{5（1+4{k^2}）}}+1=0$
∴AM⊥AN，∴△AMN为直角三角形．…（14分）

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线三角形的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．