Question

14．已知F₁、F₂分别为椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₂：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₁|=$\frac{5}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）当过点P（1，3）的动直线l与椭圆C₁相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|$\frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{PB}}$|=|$\frac{\overrightarrow{AQ}}{\overrightarrow{QB}}$|，证明：点Q总在某定直线上．

Answer 1

分析 （1）由已知得F₁（0，1），M（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$），将M（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$）代入$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}+1}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，能求出椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设$\overrightarrow{PA}$=-$λ\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{BQ}$，利用点差法能证明点Q总在直线上．

解答 解：（1）∵F₁、F₂分别为椭圆C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₂：x²=4y的焦点，
∴F₁（0，1），抛物线C₂：x²=4y准线y=-1，
∵点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₁|=$\frac{5}{3}$，
∴由抛物线方程得到M（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$），将M（-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2}{3}$）代入$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}+1}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得到b²=3或${b}^{2}=-\frac{8}{9}$（舍），
∴C₁：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题设，|$\overrightarrow{PA}$|、|$\overrightarrow{PB}$|、|$\overrightarrow{AQ}$|、|$\overrightarrow{QB}$|均不为0，且满足$\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|\overrightarrow{AQ}|}{|\overrightarrow{QB}|}$，
又P、A、Q、B四点共线，设$\overrightarrow{PA}$=-$λ\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{BQ}$，（λ＞0，λ≠1），
∴${x}_{1}=\frac{4-4λ}{1-λ}$，${y}_{1}=\frac{1-λy}{1-λ}$，①
${x}_{2}=\frac{4+λx}{1+λ}$，${y}_{2}=\frac{1+λx}{1+λ}$，②
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1-{x}_{1}，3-{y}_{1}）=-λ（{x}_{2}-1，{y}_{2}-3）}\\{（x-{x}_{1}，y-{y}_{1}）=λ（{x}_{2}-x，{y}_{2}-y）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-λ{x}_{2}=1-λ}\\{{y}_{1}-λ{y}_{2}=3-3λ}\\{{x}_{1}+λ{x}_{2}=x+λx}\\{{y}_{1}+λ{y}_{2}=y+λy}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}-{λ}^{2}{{x}_{2}}^{2}=（1-{λ}^{2}）x}\\{{{y}_{1}}^{2}-{λ}^{2}{{y}_{2}}^{2}=3（1-{λ}^{2}）y}\end{array}\right.$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{3{{y}_{1}}^{2}+4{{x}_{1}}^{2}=12}\\{3{{y}_{2}}^{2}+4{{x}_{2}}^{2}=12}\end{array}\right.$，
∴12-12λ²=4（1-λ²）x+9（1-λ²）y，
∴点Q总在某定直线4x+9y-12=0上．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查点在定直线上的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和椭圆性质的合理运用．