Question

5．在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程
（2）求弦长|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）将极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角方程；将直线的参数方程两式相减消去参数t即得直线l的普通方程；
（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得到M，N对应的参数，使用根与系数得关系得出MN的长．

解答 解：（1）∵ρsin²θ=4cosθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x．
∵$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}t}{2}}\end{array}\right.$，∴x+2=y+4，即x-y-2=0．∴直线l的普通方程是x-y-2=0．
（2）将l的参数方程代入y²=4x得（-4+$\frac{\sqrt{2}}{2}t$）²=4（-2+$\frac{\sqrt{2}}{2}t$），即t²-12$\sqrt{2}$t+48=0，
∴t₁+t₂=12$\sqrt{2}$，t₁t₂=-48．
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（12\sqrt{2}）^{2}+4×48}$=4$\sqrt{30}$．

点评 本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．