Question

17．已知命题p：函数$f（x）={x^3}+a{x^2}+（{a+\frac{4}{3}}）x+6$在（-∞，+∞）上有极值，命题q：双曲线$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{a}=1$的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的a的范围，由于命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，可得p与q必然一真一假．即可得出．

解答 解：命题p：f′（x）=3x²+2ax+a+$\frac{4}{3}$，
∵函数f（x）在（-∞，+∞）上有极值，
∴f′（x）=0有两个不等实数根，
∴△=4a²-4×3（a+$\frac{4}{3}$）=4a²-4（3a+4）＞0，
解得a＞4或a＜-1；
命题q：双曲线$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{a}=1$的离心率e∈（1，2），为真命题，
则 $\sqrt{1+\frac{a}{5}}$∈（1，2），解得0＜a＜15．
∵命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
∴p与q必然一真一假，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞4或a＜-1}\\{a≥15或a≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤4}\\{0＜a＜15}\end{array}\right.$，
解得：a≥15或0＜a≤4或a＜-1．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程有实数根与判别式的关系以及双曲线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．