Question

20．在平面直角坐标系xOy中，若直线x-y+1=0与椭圆C：mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）相交于A，B两点，点M为AB的中点，直线OM的斜率为-$\frac{1}{3}$．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若OA⊥OB，求：①椭圆C的方程；②三角形OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式，直线的斜率公式，即可得到离心率；
（2）①运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程，即可得到所求椭圆方程；
②由弦长公式和点到直线的距离公式，可得△OAB的面积．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{m{x^2}+n{y^2}=1}\end{array}}\right.$消去y，化简得（m+n）x²+2nx+n-1=0，
当△=4n²-4（m+n）（n-1）=4（m+n-mn）＞0时，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=-\frac{2n}{m+n}，{x_1}{x_2}=\frac{n-1}{m+n}$，
弦AB的中点M的坐标为（-$\frac{n}{n+m}$，$\frac{m}{n+m}$），
∴直线OM的斜率为-$\frac{m}{n}$=-$\frac{1}{3}$，即n=3m，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{{\frac{1}{m}}}+\frac{y^2}{{\frac{1}{3m}}}=1$，即${a^2}=\frac{1}{m}，{b^2}=\frac{1}{3m}$，
∴$a=\sqrt{3}b$，∴$c=\sqrt{2}b$，
∴椭圆C的离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．                          
（2）①∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=$\frac{2（n-1）}{m+n}-\frac{2n}{m+n}+1=0$，
∴m+n=2，
又∵n=3m，∴$m=\frac{1}{2}，n=\frac{3}{2}$，且满足△=4（m+n-mn）＞0，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+\frac{{3{y^2}}}{2}=1$．                   
②$AB=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=\sqrt{2{{（{{x_1}-{x_2}}）}^2}}$=$\sqrt{2（{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}）}$
=$\sqrt{2（{{（\frac{-3}{2}）}^2}-1）}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
原点O到AB的距离$d=\frac{{|{0-0+1}|}}{{\sqrt{1+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴三角形OAB的面积为$\frac{1}{2}AB•d=\frac{{\sqrt{5}}}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的求法，注意联立直线和椭圆方程，运用韦达定理，考查向量垂直的条件：斜率之积为-1，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．