Question

15．已知抛物线C₁：y²=2x与椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1在第一象限交于点A，直线y=$\sqrt{2}$x+m与椭圆C₂交于B、D两点，且A，B，D三点两两互不重合．
（1）求m的取值范围；
（2）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

Answer 1

分析 （1）联立方程中先求出A点坐标，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{2}x+m\\ 2{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.，得4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$，由此利用根的判别式能求出m的取值范围．
（2）利用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为$\sqrt{2}$．
（3）设直线AB、AD的斜率分别为：k_AB、k_AD，推导出k_AB+k_AD=0，由此能证明直线AB、AD的斜率之和为定值0．

解答 解：（1）∵抛物线C₁：y²=2x与椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1在第一象限交于点A，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得A点坐标为$（1，\sqrt{2}）$，（1分）
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{2}x+m\\ 2{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.，得4{x^2}+2\sqrt{2}mx+{m^2}-4=0$，（3分）
∵A、B、D三点两两互不重合，
∴△=-8m²+64＞0，∴$-2\sqrt{2}＜m＜2\sqrt{2}$，且m≠0，
∴m的取值范围是$（-2\sqrt{2}，0）∪（0，2\sqrt{2}）$．（4分）
（2）设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），${x_1}+{x_2}=-\frac{{\sqrt{2}m}}{2}，{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-4}}{4}$ ①
∵|BD|=$\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$$\sqrt{8-{m}^{2}}$，（6分）
设d为点A到直线BD$y=\sqrt{2}x+m$的距离，则$d=\frac{\left|m\right|}{{\sqrt{3}}}$．
∴${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}•\left|{BD}\right|•d=\frac{{\sqrt{2}}}{4}\sqrt{（8-m{\;}^2）{m^2}}≤\sqrt{2}$，当且仅当m=±2时取等号．
∵±2∈（-2$\sqrt{2}$，0）∪（0，2$\sqrt{2}$），
∴当m=±2时，△ABD的面积最大，最大值为$\sqrt{2}$．（9分）
（3）证明：设直线AB、AD的斜率分别为：k_AB、k_AD，
则${k_{AB}}+{k_{AD}}=\frac{{{y_1}-\sqrt{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\sqrt{2}}}{{{x_2}-1}}=\frac{{2\sqrt{2}{x_1}{x_2}+（m-2\sqrt{2}）（{x_1}+{x_2}）+2\sqrt{2}-2m}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$，
将①代入上式整理得k_AB+k_AD=0，
∴直线AB、AD的斜率之和为定值0．（12分）

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查三角形的最大值是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、椭圆弦长公式和点到直线的距离公式的合理运用．