Question

10．已知△ABC外接圆O的半径为2，且$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AO}$|，则$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=12．

Answer 1

分析 运用平面向量的三角形法则，以及外心的特点，可得O为BC的中点，三角形ABC为直角三角形，
再由勾股定理和向量的数量积定义，即可求出结果．

解答 解：如图所示，

△ABC的外接圆的半径为2，且$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，
∴（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）=2$\overrightarrow{AO}$，
∴$\overline{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{AO}$+2$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{0}$，
∴O为BC的中点，
即AB⊥AC；
又|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AO}$|，
∴△ABO为等边三角形，且边长为2，
由勾股定理得，AC=$\sqrt{{BC}^{2}{-AB}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|•cos∠ACB=2$\sqrt{3}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=12．
故答案为：12．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则和数量积的定义应用问题，也考查了三角形的外心概念与勾股定理的运用，是基础题．