Question

20．已知A（1，0），B（0，2），C（cosα，sinα），（0＜α＜π）．
（Ⅰ）若$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}|=\sqrt{2+\sqrt{3}}$（O为坐标原点），求$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，求3sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知点的坐标求得向量的坐标，代入向量模的公式求得cosα，进一步求得sinα，再由数量积求夹角公式求得$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BC}$，可得2sinα+cosα=1．结合平方关系求得sinα、cosα的值，则3sinα-cosα的值可求．

解答 解：（Ⅰ）∵A（1，0），C（cosα，sinα），
∴$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}|=|（1+cosα，sinα）|=\sqrt{{{（1+cosα）}^2}+{{sin}^2}α}=\sqrt{2+2cosα}=\sqrt{2+\sqrt{3}}$，
解得：$cosα=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又∵0＜α＜π，∴$α=\frac{π}{6}$，$sinα=\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{OC}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，又$\overrightarrow{OB}=（0，2）$，
设$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{OC}$的夹角为θ，则0≤θ≤π；
∴$cosθ=\frac{{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}}{{|\overrightarrow{OB}|•|\overrightarrow{OC}|}}=\frac{1}{2}$，则$θ=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AC}=（cosα-1，sinα）$，$\overrightarrow{BC}=（cosα，sinα-2）$，
且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=（cosα-1）cosα+sinα（sinα-2）=0$，
∴2sinα+cosα=1．
平方得：4sinαcosα=-3sin²α＜0，
又0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，
又sin²α+cos²α=1．∴$sinα=\frac{4}{5}，cosα=-\frac{3}{5}$．
∴3sinα-cosα=$3×\frac{4}{5}-（-\frac{3}{5}）$=3．

点评 本题考查平面向量的坐标运算，考查了利用平面向量数量积求向量的夹角，训练了三角函数值的求法，是中档题．