Question

11．若函数f（x）=（x²-x-2）（x²+ax+b）的图象关于直线x=1对称，则f（x）的最小值是0．

Answer 1

分析 根据对称性求出a，b，利用导数研究函数的最值即可．

解答 解：函数f（x）=（x²-x-2）（x²+ax+b）的图象关于直线x=1对称，
∴f（0）=f（2），f（-1）=f（3），
即-2b=0，0=4•（9+3a+b），求得b=0，a=-3，
∴f（x）=（x²-x-2）（x²-3x）=x⁴-4x³+x²-6x，
∴f′（x）=4x³-12x²+2x-6=4x²（x-3）+2（x-3）=（x-3）•（4x²+2）．
显然，在（-∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在（3，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
故当x=3时，函数y取得最小值为0，
故答案为：0．

点评 本题主要考查函数最值的区间，根据对称性求出a，b的值，利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，综合性较强，难度较大．