Question

8．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=a$\overrightarrow{AB}$+2b$\overrightarrow{AD}$+3c$\overrightarrow{{A}_{1}A}$，则abc=$-\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 由平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，与$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=a$\overrightarrow{AB}$+2b$\overrightarrow{AD}$+3c$\overrightarrow{{A}_{1}A}$比较，即可得出．

解答 解：由平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
则$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}_{1}}$，与$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=a$\overrightarrow{AB}$+2b$\overrightarrow{AD}$+3c$\overrightarrow{{A}_{1}A}$比较，
可得：a=1，2b=1，3c=-1．
解得a=1，b=$\frac{1}{2}$，c=-$\frac{1}{3}$，
则abc=-$\frac{1}{6}$．
故答案为：-$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．