Question

19．函数f（x）=$\frac{sinx}{tan\frac{x}{2}}$+$\frac{sin2x}{tanx}$的最小值为$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 首先根据三角函数的倍角公式将三角函数的恒等变换，把函数变形成二次函数的形式，利用余弦函数的值域求函数的最小值

解答 解：f（x）═$\frac{sinx}{tan\frac{x}{2}}$+$\frac{sin2x}{tanx}$=$\frac{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}}$+$\frac{2sinxcosx}{\frac{sinx}{cosx}}$=2cos²$\frac{x}{2}$+2cos²x=2cos²x+cosx+1=2（cosx+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$，
故当cosx=-$\frac{1}{4}$时，函数f（x）取得最小值为$\frac{7}{8}$，
故答案为：$\frac{7}{8}$．

点评 本题主要考查三角函数最值的求解，根据三角函数的倍角公式进行化简，并转化为一元二次函数是解决本题的关键．