Question

4．已知|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$，＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞=$\frac{π}{2}$，＜$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{π}{4}$化简（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$）•（-3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）．

Answer 1

分析 根据向量的数量积公式计算即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{π}{3}$，＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞=$\frac{π}{2}$，＜$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{π}{4}$，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$）•（-3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）
=-3$\overrightarrow{a}$²+4$\overrightarrow{b}$²-2$\overrightarrow{c}$²-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+-2$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$+7$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$
=-3+4-2-4|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{π}{3}$-2|$\overrightarrow{b}$|•|$\overrightarrow{c}$|cos$\frac{π}{2}$+7|$\overrightarrow{c}$|•|$\overrightarrow{a}$|cos$\frac{π}{4}$
=-1-4×1×1×$\frac{1}{2}$-0+7×1×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
=-3+$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算，关键是掌握运算公式，属于基础题．