Question

2．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y-1≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y-1≤k（x-1）}\end{array}\right.$（k＞0）表示的平面区域为D，若?（x，y）∈D，$\frac{y}{{x}^{2}}$≤1恒成立，则实数k的取值范围是（0，1]．

Answer 1

分析 如图所示，题中不等式组表示的平面区域为图中直线AB上方、直线BC的下方，且y-1=k（x-1）下方的区域．由此将直线y-1=k（x-1）绕A（1，1）旋转，观察斜率的变化并计算$\frac{y}{{x}^{2}}$的值，可得实数k的取值范围．

解答 解：如图示：
，
根据题意，直线y-1=k（x-1）经过定点A（1，1）
不等式组表示的平面区域为直线AB上方、直线BC的下方，且y-1=k（x-1）下方的区域
∵$\frac{y}{{x}^{2}}$的最大值为1，即当点P与点A重合时$\frac{y}{{x}^{2}}$有最大值
∴直线y-1=k（x-1）绕A点顺时针旋转，且满足斜率大于0时，符合题意，
因此斜率的范围为（0，1]，即实数k的取值范围是（0，1]．
故答案为：（0，1]．

点评 本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最值和参数的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，属于中档题．