Question

5．已知函数f（log₂x）=x-$\frac{1}{x}$
（1）求函数f（x）的表达式，并说明函数的单调性、奇偶性（无需证明）；
（2）设集合A=$\{x|x=sinθ+cosθ，θ∈（-\frac{π}{2}，0）\}$，若函数y=f（x）（x∈A），且f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数 m的取值范围；
（3）若不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数 m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令a=${log}_{2}^{x}$，则x=2^a，从而求出f（x）的表达式；
（2）根据三角函数的性质求出集合A，结合函数的单调性得到关于m的不等式组，求出m的范围即可；
（3）问题转化为2^t（2^2t-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）+m（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0对t∈[1，2]恒成立，根据t的范围得到2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$＞0，问题转化为2^t（2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$）+m≥0对t∈[1，2]恒成立，求出m的范围即可．

解答 解：（1）令a=${log}_{2}^{x}$，则x=2^a，f（a）=2^a-$\frac{1}{{2}^{a}}$，
∴f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$（x∈R），
f（x）是奇函数，且在R上递增；
（2）∵x=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），（θ∈（-$\frac{π}{2}$，0）），
∴θ+$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），
∴$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈（-1，1），
∴A={x|-1＜x＜1}，
由（1）f（x）是奇函数，且在R上单调递增，
对y=f（x），（x∈A），
f（1-m）+f（1-m²）＜0，
有$\left\{\begin{array}{l}{1-m{＜m}^{2}-1}\\{-1＜1-m＜1}\\{-1{＜m}^{2}-1＜1}\end{array}\right.$，
解得：1＜m＜$\sqrt{2}$；
（3）不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，
即2^t（2^2t-$\frac{1}{{2}^{2t}}$）+m（2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0对t∈[1，2]恒成立，
∵t∈[1，2]，∴2^t-$\frac{1}{{2}^{t}}$＞0，
∴2^t（2^t+$\frac{1}{{2}^{t}}$）+m≥0对t∈[1，2]恒成立，即对t∈[1，2]恒成立，
令g（t）=-（2^t）²-1，t∈[1，2]，
g（t）_max=g（1）=-5，
∴m≥-5．

点评 本题考查了对数函数、三角函数的性质，考查转化思想，函数恒成立问题，考查学生的计算能力，是一道中档题．