Question

16．已知圆C₁：x²+y²=b²与椭圆C₂：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，若在椭圆C₂上存在一点P，使得由点P所作的圆C₁的两条切线互相垂直，则椭圆C₂的离心率的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}]$
• B． $[\frac{1}{2}，1）$
• C． $[\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$
• D． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 设P（m，n），由题意列出方程组求出$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{2{m}^{2}}$，从而$e=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{m}^{2}}}$，由此能求出椭圆C₂的离心率的取值范围．

解答 解：设P（m，n），由题意知$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+{n}^{2}=2{b}^{2}}\\{\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴b²m²=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$a²-a²n²=${a}^{2}•\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{2}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{2{m}^{2}}$，
∴$e=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2{m}^{2}-{m}^{2}+{n}^{2}}{2{m}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2{m}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{m}^{2}}}$，
∵-a≤m≤a，
∴m=b时，e_max→$\sqrt{2-1}$=1，
m=a时，e_min=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$，∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴e_min=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又0＜e＜1，∴椭圆C₂的离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的灵活运用．