Question

6．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（$\sqrt{2}$，1），且焦点为F₁（-$\sqrt{2}$，0）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，0）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足$\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|\overrightarrow{AQ}|}{|\overrightarrow{QB}|}$，证明：点Q总在某定直线上．

Answer 1

分析 （1）由椭圆过点M（$\sqrt{2}$，1），且焦点为F₁（-$\sqrt{2}$，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设$\overrightarrow{PA}$=-$λ\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{BQ}$，（λ≠0，±1），利用点差法能证明点Q总在直线上．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（$\sqrt{2}$，1），且焦点为F₁（-$\sqrt{2}$，0），
∴由题意$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}=2}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=2，
∴所求的椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设点Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题设，|$\overrightarrow{PA}$|、|$\overrightarrow{PB}$|、|$\overrightarrow{AQ}$|、|$\overrightarrow{QB}$|均不为0，且满足$\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|\overrightarrow{AQ}|}{|\overrightarrow{QB}|}$，
又P、A、Q、B四点共线，设$\overrightarrow{PA}$=-$λ\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{BQ}$，（λ≠0，±1），
∴${x}_{1}=\frac{4-λx}{1-λ}$，${y}_{1}=\frac{-λy}{1-λ}$，①
 ${x}_{2}=\frac{4+λx}{1+λ}$，${y}_{2}=\frac{λy}{1+λ}$，②
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在椭圆上，
将①②分别代入C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，整理得：
（x²+2y²-4）λ²-8（x-1）λ+12=0，③
（x²+2y²-4）λ²+8（x-1）λ+12=0，④
由④-③，得-8（x-1）λ=0，
∵λ≠0，∴x-1=0，
即点Q（x，y）总在直线x-1=0上．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查点在定直线上的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和椭圆性质的合理运用．