Question

11．正四棱台两底面边长分别为2和4．
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．

Answer 1

分析 （1）根据正四棱台的高、斜高以及对应的线段组成直角梯形，求出斜高，从而求出侧面积；
（2）根据正四棱台的侧面积求出斜高，再由对应梯形求出四棱台的高．

解答 解：（1）如图，设O₁，O分别为上，下底面的中心，
过C₁作C₁E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C₁F，
则C₁F为正四棱台的斜高；
由题意知∠C₁CO=45°，
CE=CO-EO=CO-C₁O₁=$\sqrt{2}$；
在Rt△C₁CE中，C₁E=CE=$\sqrt{2}$，
又EF=CE•sin 45°=1，
∴斜高C₁F=$\sqrt{{{C}_{1}E}^{2}{+EF}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_侧=4×$\frac{1}{2}$×（2+4）×$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$；
（2）∵S_上底+S_下底=2²+4²=20，
∴S_侧=4×$\frac{1}{2}$×（2+4）×h_斜高=20，
解得h_斜高=$\frac{5}{3}$；
又EF=1，
∴高h=$\sqrt{{{h}_{斜高}}^{2}{-EF}^{2}}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了正四棱台的结构特征与有关的计算问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．